ACTIVIDAD

Relacione la columna A con la columna B y escriba su respuesta en los comentarios

Buscar en la sopa de letras las siguientes palabras.

1.       Coseno

2.       Seno

3.       Tangente

4.       Derivada

5.       Función

6.       Secante

7.       Cosecante

8.       Inversa

9.       Reglas

C	O	S	E	N	O	A	G	J	K
O	S	E	T	N	E	G	N	A	T
S	S	N	N	E	N	G	O	D	J
E	F	O	A	E	E	V	I	A	A
C	M	R	C	F	S	D	C	V	F
A	R	R	E	G	A	S	N	I	H
N	T	G	S	H	L	A	U	R	J
T	U	H	F	G	G	S	F	E	J
E	I	J	A	G	E	F		D	O
D	A	K	A	S	R	E	V	N	I

VIDEO

Vídeo sobre derivada de funciones trigonométricas
derechos de autor https://www.youtube.com/watch?v=lu1H_ljGF44

Vídeo sobre reglas de funciones trigonométricas
derechos de autor https://www.youtube.com/watch?v=cP1Ss34Mkz8

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.

Derivada de la función seno 

Dada la función 

f(x)=\sen(x) su derivada puede ser tanto hipotetizada o inducida por condiciones iniciales.

Considerando la serie de Taylor:

\senx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1

Derivando término a termino el sumatorio se tiene:

∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=cosx

Por tanto resulta:

f′(x)=cos(x)

Derivada de la función coseno

Dada la función f(x)=cos(x)=\sen(x+π2) es inmediato que:

f′(x)=−\sen(x)

Derivada de la función tangente

A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x), se puede escribir como

f(x)=g(x)h(x)

y h(x)≠0, entonces la regla dice que la derivada de g(x)/h(x) es igual a:

ddxf(x)=f′(x)=g′(x)h(x)−g(x)h′(x)[h(x)]2

A partir de la identidad trigonométrica

tan(x)=sen(x)cos(x)

haciendo:

g(x)=\sen(x)

g′(x)=cos(x)

h(x)=cos(x)

h′(x)=−\sen(x)

sustituyendo resulta

f′(x)=cos(x)cos(x)−\sen(x)[−\sen(x)]cos2(x)

operando

f′(x)=cos2(x)+\sen2(x)cos2(x)

y aplicando las identidades trigonométricas

cos2(x)+\sen2(x)=1

sec2(x)=1cos2(x)

resulta:

f′(x)=sec2(x)

Derivada de la función arcoseno

Tenemos una función y=arcsenx, que también se puede expresar como \seny=x. Derivando implícitamente la segunda expresión:

cosy⋅dydx=1

dydx=1cosy

Tenemos además que cosy=1−\sen2y−−−−−−−−√, y que x=\seny. Sustituyendo, tenemos la fórmula final:

ddxarcsenx=11−x2−−−−−√

Ejemplo #1

y=csc(x)cot(x)

y′=(−csc(x)csc2(x))−cot(x)csc(x)cot(x)

y′=−csc(x)csc2(x)−cot2(x)csc(x)

y′=−csc3(x)−cot2(x)csc(x)

Ejemplo #2

y=3sen(x)−2cos(x)

y′=3dsenxdx−2dcosxdx

y′=3cos(x)+2sen(x)