La derivación de las funciones trigonométricas es el proceso matemático de encontrar el ritmo al cual una función trigonométrica cambia respecto de la variable independiente; es decir, la derivada de la función. Las funciones trigonométricas más habituales son las funciones sen(x), cos(x) y tan(x). Por ejemplo, al derivar f(x) = sen(x), se está calculando la función f'(x) tal que da el ritmo de cambio del sen(x) en cada punto x.
Derivada de la función seno
Dada la función
Considerando la serie de Taylor:
\senx=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1
Derivando término a termino el sumatorio se tiene:
∑n=0∞(−1)n(2n)!x2n=cosx
Por tanto resulta:
f′(x)=cos(x)
Derivada de la función coseno
Dada la función f(x)=cos(x)=\sen(x+π2) es inmediato que:
f′(x)=−\sen(x)
Derivada de la función tangente
A partir de la regla del cociente, según la cual si la función que se quiere derivar, f(x) , se puede escribir como
f(x)=g(x)h(x)
y h(x)≠0 , entonces la regla dice que la derivada de g(x)/h(x) es igual a:
ddxf(x)=f′(x)=g′(x)h(x)−g(x)h′(x)[h(x)]2
A partir de la identidad trigonométrica
tan(x)=sen(x)cos(x)
haciendo:
g(x)=\sen(x) g′(x)=cos(x) h(x)=cos(x) h′(x)=−\sen(x)
sustituyendo resulta
f′(x)=cos(x)cos(x)−\sen(x)[−\sen(x)]cos2(x)
operando
f′(x)=cos2(x)+\sen2(x)cos2(x)
y aplicando las identidades trigonométricas
cos2(x)+\sen2(x)=1 sec2(x)=1cos2(x)
resulta:
f′(x)=sec2(x)
Derivada de la función arcoseno
Tenemos una función y=arcsenx , que también se puede expresar como \seny=x . Derivando implícitamente la segunda expresión:
cosy⋅dydx=1 dydx=1cosy
Tenemos además que cosy=1−\sen2y−−−−−−−−√ , y que x=\seny . Sustituyendo, tenemos la fórmula final:
ddxarcsenx=11−x2−−−−−√
Ejemplo #1
y=csc(x)cot(x) y′=(−csc(x)csc2(x))−cot(x)csc(x)cot(x) y′=−csc(x)csc2(x)−cot2(x)csc(x) y′=−csc3(x)−cot2(x)csc(x)
Ejemplo #2
y=3sen(x)−2cos(x) y′=3dsenxdx−2dcosxdx y′=3cos(x)+2sen(x)
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